黄金比例
φ
=
1
+
5
2
≈
1.61803398875
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803398875\,}
的高次方符合此特性。例如
φ
17
=
3571
+
1597
5
2
≈
3571.00028
≈
F
16
+
F
18
{\displaystyle \varphi ^{17}={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\approx F_{16}+F_{18}}
φ
18
=
2889
+
1292
5
≈
5777.999827
≈
F
17
+
F
19
{\displaystyle \varphi ^{18}=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\approx F_{17}+F_{19}}
φ
19
=
9349
+
4181
5
2
≈
9349.000107
≈
F
18
+
F
20
{\displaystyle \varphi ^{19}={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\approx F_{18}+F_{20}}
其中
F
n
{\displaystyle F_{n}}
代表费波纳契数列的第
n
{\displaystyle n}
项
这是因为有恒等式
φ
n
=
F
n
−
1
+
F
n
×
φ
{\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\times \varphi }
[注 1]，所以当
n
{\displaystyle n}
为足够大的正整数时，
φ
n
=
F
n
−
1
+
F
n
×
φ
≈
F
n
−
1
+
F
n
×
(
F
n
+
1
F
n
)
=
F
n
−
1
+
F
n
+
1
{\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\times \varphi \approx F_{n-1}+F_{n}\times \left({\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}\right)=F_{n-1}+F_{n+1}}
这些数字接近整数的原因和黄金比例的特性有关，不是数学巧合。其原因是因为黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数，而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方会是接近整数。
这些数字与费波纳契数有密切的关系，因为费波纳契数相邻两项的比值会趋近于黄金比例，而如果m整除n，则第m个费波纳契数也会整除第n个费波纳契数。
皮索特-维贾亚拉加文数是指代数数本身大于1，而且其极小多项式中另一根的绝对值小于1。像黄金比例本身大于1，
φ
{\displaystyle \varphi }
的最小多项式为
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
另一根为
φ
¯
=
1
−
5
2
≈
−
0.618
{\displaystyle {\overline {\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\approx -0.618\,}
绝对值小于1，因此黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数，其高次方会是接近整数。
依照根和系数的关系，可得知
φ
φ
¯
=
−
1
{\displaystyle \varphi {\overline {\varphi }}=-1}
φ
+
φ
¯
=
1
{\displaystyle \varphi +{\overline {\varphi }}=1}
而
φ
n
+
φ
¯
n
{\displaystyle \varphi ^{n}+{\overline {\varphi }}^{n}}
可以用
φ
φ
¯
{\displaystyle \varphi {\overline {\varphi }}}
及
φ
+
φ
¯
{\displaystyle \varphi +{\overline {\varphi }}}
来表示，由于二根之和及二根之积均为整数，计算所得的结果也是一个正整数，假设为一正整数K，则
φ
n
{\displaystyle \varphi ^{n}}
可以用下式表示
φ
n
=
K
−
φ
¯
n
{\displaystyle \varphi ^{n}=K-{\overline {\varphi }}^{n}}
由于
φ
¯
{\displaystyle {\overline {\varphi }}}
的绝对值小于1，在n增大时，其高次方会趋于0，此时可得
φ
n
≈
K
{\displaystyle \varphi ^{n}\approx K}
除了黄金比例外，其他皮索特-维贾亚拉加文数的无理数也符合此一条件，例如
1
+
2
{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
。